Le sfere ad alta dimensione possono essere impilate in modo caotico particolarmente bene
Il problema dell'impacchettamento della sfera più densa sembra semplice, ma è sorprendentemente difficile da risolvere. Ora quattro giovani matematici hanno raggiunto il primo risultato in 75 anni.
Da centinaia di anni gli esperti lavorano su come disporre le sfere nel modo più salvaspazio possibile. Il problema sembra risalire al navigatore Sir Walter Raleigh, che viaggiò per gli oceani del mondo nel XVI secolo. Egli incaricò il suo consulente scientifico dell'epoca, Thomas Harriot, di un compito apparentemente semplice: Harriot doveva calcolare la quantità minima di spazio necessaria per impilare un certo numero di palle di cannone a forma di piramide. A sua insaputa, il compito di Raleigh avrebbe segnato i secoli successivi della matematica. Numerosi rompicapo sono ancora oggi associati a questo compito.
Anche se Harriot fu in grado di risolvere rapidamente il problema posto da Raleigh, sorsero delle domande: Qual è la disposizione più efficiente dal punto di vista spaziale se si vuole riempire l'intero spazio tridimensionale con un numero infinito di sfere? Questo problema, noto come congettura di Keplero, è stato risolto solo nel 1998 con l'aiuto dei computer. Da allora, gli esperti sono riusciti a calcolare l'impacchettamento più denso per i dischi bidimensionali nel piano e per le sfere tridimensionali nello spazio (problema di Keplero) e persino in dimensioni superiori. Ad esempio, esiste una risposta chiara alla domanda su come le "sfere" a 8 e 24 dimensioni possano essere disposte in uno spazio corrispondente a 8 o 24 dimensioni per risparmiare più spazio possibile. Tuttavia, il risultato generale per le sfere d-dimensionali è ancora incerto.
Ma esistono delle stime. Fino a poco tempo fa, la stima migliore proveniva dal matematico Claude Ambrose Rogers, che nel 1947 dimostrò che la densità delle sfere d-dimensionali doveva essere di almeno 2⁄e-d-2-d. Questa stima è rimasta valida nei decenni successivi e difficilmente potrà essere migliorata.
Il miglioramento può sembrare modesto, ma il problema è molto difficile e il metodo è nuovo.
Ora, però, i quattro matematici Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen e Julian Sahasrabudhe sono riusciti ad aumentare la stima di Roger di un fattore log(d), come riportano in un articolo non ancora sottoposto a peer-review e pubblicato nel dicembre 2023. Si tratta del primo grande progresso nel campo in 75 anni. "Questo miglioramento può sembrare modesto, ma il problema è noto per essere molto difficile e il metodo utilizzato è nuovo", scrive il matematico Timothy Gowers su X.
Il caos come soluzione
Per fare queste stime, di solito si analizzano le possibili disposizioni delle sfere e si calcola la loro densità, cioè la proporzione di sfere nello spazio. È molto complicato dimostrare che questa è davvero la disposizione più densa: Devi dimostrare che ogni altra disposizione, ordinata o disordinata, ha sempre una densità di sfere inferiore.
Stimare la densità è un po' più semplice. Puoi iniziare con la disposizione più semplice possibile: Supponiamo di voler impacchettare un numero infinito di sfere d-dimensionali con raggio uno in uno spazio d-dimensionale. Per farlo, devi prima scegliere l'insieme di tutti i punti dello spazio che hanno una distanza di due l'uno dall'altro. Se in ognuno di questi punti si colloca una sfera di raggio uno, si è trovata una disposizione possibile, anche se non ottimale. Questa ha una densità di 2-d. Quindi, l'impacchettamento di sfere più denso deve avere una densità di almeno 2-d. Rogers scoprì che la densità di una sfera è pari a 2-d. Rogers ha scoperto che questa stima può essere migliorata di un fattore 2⁄e-d. In sostanza, dimostrò che esiste una disposizione di sfere d-dimensionali che hanno questa densità. Nei decenni successivi, altri esperti sono riusciti a migliorare il risultato di Roger solo di un fattore costante. "È sorprendente che i lavori utilizzino metodi molto diversi e che tutti portino allo stesso miglioramento lineare del limite banale", ha scritto ad esempio Akshay Venkatesh, vincitore della medaglia Fields.
Campos, Jenssen, Michelen e Sahasrabudhe hanno ora utilizzato metodi stocastici per studiare nuove disposizioni di sfere. L'aspetto sorprendente è che il loro risultato non si basa su una disposizione ordinata, ma su sfere distribuite in modo caotico. A volte il caos porta alla meta, anche in matematica.
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Immagine di copertina: Shutterstock / Jose Luis Salinas
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